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湖南2013年高考数学


上传时间:2015-04-24 来源:2013年湖南高考数学


第一篇:湖南2013年高考数学

2013 年湖南省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?湖南)复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分) (2013?湖南)某校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著 差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 3. (5 分) (2013?湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= b,则角 A 等于( A. B. C. D. ) 4. (5 分) (2013?湖南)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 x+2y 的最大值是( ) A. B.0 C. D. 5. (5 分) (2013?湖南)函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x ﹣4x+5 的图象的交点个数为( A .3 B.2 C .1 D.0 2 ) 6. (5 分) (2013?湖南) 已知 , 是单位向量, A. B. , 若向量 满足 C. , 则 D. 的取值范围为 ( ) 7. (5 分) (2013?湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不 可能是( ) A .1 B. C. D. 8. (5 分) (2013?湖南)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图 1) ,若光线 QR 经过△ ABC 的重心,则 AP 等于( ) A .2 B.1 C. D. 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,第小题 5 分,共 35 分. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三 题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分) (二)必做题(12~16 题) 9. (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l

的右顶点,则常数 a 的值为 _________ . 2 , (t 为参数)过椭圆 C: (θ 为参数) 10. (5 分) (2013?湖南)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a +4b +9c 的最小值为 _________ . 11. (5 分) (2013?湖南)如图,在半径为 CD 的距离为 _________ . 的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 2 2 12. (5 分) (2013?湖南)若 ,则常数 T 的值为 _________ . 13. (5 分) (2013?湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 _________ . 14. (5 分) (2013?湖南) 设 F1, F2 是双曲线 C: (a>0, b>0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a, 且△ PF1F2=30°的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 _________ . 15. (5 分) (2013?湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, (1)a3= _________ ; (2)S1+S2+…+S100= _________ . 16. (5 分) (2013?湖南)设函数 f(x)=a +b ﹣c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x) 的零点的取值集合为 _________ . (2)若 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 _________ . (写出所有正确结论的序号) ①?x∈(﹣∞,1) ,f(x)>0; x x x ②?x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2) ,使 f(x)=0. x x x ,n∈N ,则 * 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?湖南)已知函数 (I)若 α 是第一象限角,且 ,求 g(α)的值; , . (II)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 18. (12 分) (2013?湖南)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获 Y(单位:kg)与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率; (II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 19. (12 分) (2013?湖南) 如图, 在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD=90°, AC⊥BD, BC=1, AD=AA1=3. (I)证明:AC⊥B1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 20. (13 分) (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建居民区, 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20) ,B(﹣10,0) ,C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某 一点 P 处修建一个文化中心. (I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21. (13 分) (2013?湖南)过抛物线 E:x =2py(p>0)的焦点 F 作斜率率分别为 k1,k2 的两条不同直线 l1,l2, 且 k1+k2=2.l1 与 E 交于点 A,B,l2 与 E 交于 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦 所在直线记为 l. (I)若 k1>0,k2>0,证明

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ; ,求抛物线 E 的方程. 2 22. (13 分) (2013?湖南)已知 a>0,函数 . (I)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (II)是否存在 a 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求 出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 2013 年湖南省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?湖南)复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点

专题

分析

解答

复数的代数表示法及其几何意义. 计算题. 化简复数 z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案. 解:z=i?(1+i)=﹣1+i, 故复数 z 对应的点为(﹣1,1) , 在复平面的第二象限, 故选 B. 点评

本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题. 342472 2. (5 分) (2013?湖南)某校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著 差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 考点

专题

分析

解答

分层抽样方法. 概率与统计. 若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 解:总体由男生和女生组成,比例为 500:500=1:1,所抽取的比例也是 1:1. 故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法. 故选 D 点评

本小题主要考查抽样方法,属基本题. 342472 3. (5 分) (2013?湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= b,则角 A 等于( A. B. C. D. ) 考点

专题

分析

解答: 正弦定理. 计算题;解三角形. 利用正弦定理可求得 sinA,结合题意可求得角 A. 解:∵在△ ABC 中,2asinB= b, 342472 ∴由正弦定理 ∴sinA= ∴A= . = =2R 得:2sinAsinB= sinB, ,又△ ABC 为锐角三角形, 故选 D. 点评

本题考查正弦定理,将“边”化所对“角”的正弦是关键,属于基础题. 4. (5 分) (2013?湖南)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 x+2y 的最大值是( ) A. B.0 C. D. 考点

简单线性规划. 专题

计算题;不等式的解法及应用. 分析

作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=x+2y 对应的直线进行平 342472 移,可得当 x= ,y= 时,x+2y 取得最大值为 . 解答

解:作出不等式组 表示的平面区域, 得到如图的△ ABC 及其内部,其中 A(﹣ ,﹣1) ,B( , ) ,C(2,﹣1) 设 z=F(x,y)=x+2y,将直线 l:z=x+2y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F( , )= 故选:C 点评

本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简 单的线性规划等知识,属于基础题. 5. (5 分) (2013?湖南)函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x ﹣4x+5 的图象的交点个数为( A .3 B.2 C .1 D.0 2 ) 考点

根的存在性及根的个数判断. 专题

函数的性质及应用. 2 分析

本题考查的知识点是指数函数的图象,要求函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x ﹣4x+5 的图象的交点 个数,我们画出函数的图象后,利用数形结合思想,易得到答案. 解答

解:在同一坐标系下,画出函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2﹣4x+5 的图象如下图: 342472 由图可知,两个函数图象共有 2 个交点 故选 B. 点评

求两个函数图象的交点个数,我们可以使用数形结合的思想,在同一坐标系中,做出两个函数的图象,分 析图象后,即可等到答案. 6. (5 分) (2013?湖南) 已知 , 是单位向量, A. B. , 若向量 满足 C. , 则 D. 的取值范围为 ( ) 考点

等差数列;平面向量数量积的运算. 专题

平面向量及应用. 分析

令 , , ,作出图象,根据图象可求出 342472 的最大值、最小值. 解答: 解:令 如下图所示:则 , , , , 又 ,所以点 C 在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上, 达到最值,最大值为 ﹣1, +1]. +1,最小值为 ﹣1, 易知点 C 与 O、D 共线时 所以 的取值范围为[ 故选 A. 点评

本题考查平面向量的数量积运算,根据题意作出图象,数形结合是解决本题的有力工具. 7. (5 分) (2013?湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不 可能是( ) A .1 B. C. D. 考点

专题

分析

解答: 简单空间图形的三视图. 计算题. 342472 求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 即可得出. 解:水平放置的正方体,当正视图为正方形时,其面积最小为 1;当正视图为对角面时,其面积最大为 因此满足棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积的范围为 . 因此可知:A,B,D 皆有可能,而 <1,故 C 不可能. . 故选 C. 点评

正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 是解题的关键. 8. (5 分) (2013?湖南)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图 1) ,若光线 QR 经过△ ABC 的重心,则 AP 等于( ) A .2 B.1 C. D. 考点

与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题

直线与圆. 分析

建立坐标系,设点 P 的坐标,可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1 的坐标,和 P 关于 y 轴的对称点 P2 的坐标, 由 P1,Q,R,P2 四点共线可得直线的方程,由于过△ ABC 的重心,代入可得关于 a 的方程,解之可得 P 的坐标,进而可得 AP 的值. 解答

解:建立如图所示的坐标系

可得 B(4,0) ,C(0,4) ,故直线 BC 的方程为 x+y=4, 342472 △ ABC 的重心为( , ) ,设 P(a,0) ,其中 0<a<4, 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x,y) ,满足 , 解得 ,即 P1(4,4﹣a) ,易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(﹣a,0) , 由光的反射原理可知 P1,Q,R,P2 四点共线, 直线 QR 的斜率为 k= = ,故直线 QR 的方程为 y= 2 (x+a) , 由于直线 QR 过△ ABC 的重心( , ) ,代入化简可得 3a ﹣4a=0, 解得 a= ,或 a=0(舍去) ,故 P( ,0) ,故 AP= 故选 D 点评

本题考查直线与点的对称问题,涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用,属中档题. 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,第小题 5 分,共 35 分. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三 题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分) (二)必做题(12~16 题) 9. (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l

的右顶点,则常数 a 的值为 3 . , (t 为参数)过椭圆 C

(θ 为参数) 考点

参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题

圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析

直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程,求出椭圆的右顶点,代入直线方程即可求得 a 的 值. 解答

解:由直线 l

,得 y=x﹣a, 342472 再由椭圆 C: ,得 , ① +② 得, 所以椭圆 C: 2 2 . 的右顶点为(3,0) . 因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 0=3﹣a,所以 a=3. 故答案为 3. 点评

本题考查了参数方程和普通方程的互化,考查了直线和圆锥曲线的关系,是基础题. 10. (5 分) (2013?湖南)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a +4b +9c 的最小值为 12 . 考点

柯西不等式;柯西不等式的几何意义. 专题

计算题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析

根据柯西不等式,得(a+2b+3c) =(1×a+1×2b+1×3c) ≤(1 +1 +1 ) (a +4b +9c )=3(a +4b +9c ) ,化 342472 2 2 2 简得 a +4b +9c ≥12,由此可得当且仅当 a=2,b=1,c= 时,a +4b +9c 的最小值为 12. 解答

解:∵a+2b+3c=6, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴根据柯西不等式,得(a+2b+3c) =(1×a+1×2b+1×3c) ≤(1 +1 +1 )[a +(2b) +(3c) ] 2 2 2 2 2 2 化简得 6 ≤3(a +4b +9c ) ,即 36≤3(a +4b +9c ) 2 2 2 ∴a +4b +9c ≥12, 当且仅当 a:2b:3c=1:1:1 时,即 a=2,b=1,c= 时等号成立 由此可得:当且仅当 a=2,b=1,c= 时,a +4b +9c 的最小值为 12 故答案为:12 点评

本题给出等式 a+2b+3c=6,求式子 a2+4b2+9c2 的最小值.着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式 的等号成立的条件等知识,属于中档题. 11. (5 分) (2013?湖南)如图,在半径为 CD 的距离为 . 的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 考点

专题

分析

解答: 圆內接多边形的性质与判定;与圆有关的比例线段. 计算题. 首先利用相交弦定理求出 CD 的长,再利用勾股定理求出圆心 O 到弦 CD 的距离,注意计算的正确率. 解:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD, ∴2×2=CP?1, 解得:CP=4,又 PD=1, ∴CD=5, 又⊙O 的半径为 , 342472 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 d= 故答案为

. = = 点评

此题主要考查了相交弦定理,垂径定理,勾股定理等知识,题目有一定综合性,是中考中热点问题. 12. (5 分) (2013?湖南)若 ,则常数 T 的值为 3 . 考点

定积分. 专题

计算题. 分析

利用微积分基本定理即可求得. 解答

= =9,解得 T=3, 342472 故答案为:3. 点评

本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题. 13. (5 分) (2013?湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 9 . 考点

程序框图. 专题

图表型. 分析

分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累加 a 值, 并判断满足 a>8 时输出 a 的值. 解答

解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示

是否继续循环 a b 循环前/1 2 第一圈 是 3 2 第二圈 是 5 2 第三圈 是 7 2 第四圈 是 9 2 第五圈 否 故最终输出的 a 值为 9. 故答案为:9. 点评

根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是

:①分析流程 图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与 运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选 择恰当的数学模型③解模. 342472 14. (5 分) (2013?湖南) 设 F1, F2 是双曲线 C

且△ PF1F2=30°的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 考点

专题

分析

解答

双曲线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 342472 (a>0, b>0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a, . 利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为 30°结合余弦定理,求出双曲线的离心率. 解:因为 F1、F2 是双曲线的两个焦点,P 是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a, 不妨设 P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵△PF1F2 的最小内角∠PF1F2=30°,由余弦定理, 2 2 2 ∴|PF2| =|F1F2| +|PF1| ﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2, 2 2 2 即 4a =4c +16a ﹣2c×4a× , 2 2 ∴c ﹣2 ca+3a =0, ∴c= a 所以 e= = 故答案为

. . 点评

本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力. 15. (5 分) (2013?湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, (1)a3= ﹣ ; . ,n∈N ,则 * (2)S1+S2+…+S100= 考点

数列的求和;数列的函数特性. 专题

等差数列与等比数列. 分析

(1)把给出的数列递推式先分 n=1 和 n≥2 讨论,由此求出首项和 n≥2 时的关系式 342472 .对此关系式再分 n 为偶数和奇数分别得到当 n 为偶数和奇数时 的通项公式,则 a3 可求; (2)把(1)中求出的数列的通项公式代入 比数列的前 n 项和公式可求得结果. 解答

解:由 当 n=1 时,有 当 n≥2 时, 即 若 n 为偶数,则 所以 若 n 为奇数,则 所以 所以(1) 故答案为﹣ (2)因为 又 则 ; (n 为正奇数) ,所以﹣ . , (n 为正偶数) . . (n 为正奇数) ; = . . . ,n∈N , ,得 . . * ,n∈N ,则利用数列的分组求和和等 * (n 为正偶数) ,所以 . , . 则 … . . 所以,S1+S2+S3+S4+…+S99+S100 = = = = 故答案为 . . 点评

本题考查了数列的求和,考查了数列的函数特性,解答此题的关键在于当 n 为偶数时能求出奇数项的通项, 当 n 为奇数时求出偶数项的通项,此题为中高档题. 16. (5 分) (2013?湖南)设函数 f(x)=a +b ﹣c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x) 的零点的取值集合为 {x|0<x≤1} . (2)若 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 ①②③ . (写出所有正确结论的序号) ①?x∈(﹣∞,1) ,f(x)>0; x x x ②?x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2) ,使 f(x)=0. 考点

命题的真假判断与应用;函数的零点;进行简单的合情推理. 专题

阅读型. 分析

x x x (1)由集合 M 中的元素满足的条件,得到 c≥a+b=2a,求得 的范围,解出函数 f(x)=a +b ﹣c 的零点, 342472 x x x 利用不等式可得零点 x 的取值集合; (2)对于①,把函数式 f(x)=a +b ﹣c 变形为 x x x , 利用指数函数的单调性即可证得结论成立; 对于②,利用取特值法说明命题是正确的; 对于③,由△ ABC 为钝角三角形说明 f(2)<0,又 f(1)>0,由零点的存在性定理可得命题③正确. 解答

(1)因为 c>a,由 c≥a+b=2a,所以 令 f(x)=a +b ﹣c = 得 ,所以 . x x x ,则 . . 所以 0<x≤1. 故答案为{x|0<x≤1}; (2)因为 又 , , 所以对?x∈(﹣∞,1) , 所以命题①正确; x x x . 令 x=1,a=b=1,c=2.则 a =b =1,c =2.不能构成一个三角形的三条边长. 所以命题②正确; 2 2 2 若三角形为钝角三角形,则 a +b ﹣c <0. 2 2 2 f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a +b ﹣c <0. 所以?x∈(1,2) ,使 f(x)=0. 所以命题③正确. 故答案为①②③. 点评

本题考查了命题真假的判断与应用,考查了函数零点的判断方法,训练了特值化思想方法,解答此题的关 键是对题意的正确理解,此题是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?湖南)已知函数 (I)若 α 是第一象限角,且 ,求 g(α)的值; , . (II)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 考点

两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦;正弦函数的单调性. 专题

计算题;三角函数的图像与性质. 分析

(I)根据两角和与差的三角函数公式化简,得 f(x)= sinx,结合 解出 sinα= ,利用同 342472 角三角函数的基本关系算出 cosα= .由二倍角的余弦公式进行降次,可得 g(x)=1﹣cosx,即可算出 g(α) =1﹣cosα= ; (II)f(x)≥g(x) ,即 sinx≥1﹣cosx,移项采用辅助角公式化简整理,得 2sin(x+ )≥1,再根据正弦 函数的图象与性质,即可求出使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解答

:∵sin(x﹣ cos(x﹣ ∴ 而 (I)∵ =1﹣cosx ,∴ sinα= ,解之得 sinα= = )=sinxcos ﹣cosxsin = cosx+ = sinx﹣ cosx sinx =( sinx﹣ cosx)+( cosx+ sinx)= sinx )=cosxcos +sinxsin ∵α 是第一象限角,∴cosα= 因此,g(α)= (II)f(x)≥g(x) ,即 移项,得 =1﹣cosα= , sinx≥1﹣cosx sinx+cosx≥1,化简得 2sin(x+ )≥1 ∴sin(x+ )≥ ,可得 +2kπ≤x+ ≤ +2kπ(k∈Z) 解之得 2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) +2kπ(k∈Z)} 因此,使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤ 点评

本题给出含有三角函数的两个函数 f(x) 、g(x) ,求特殊函数值并讨论使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集 合.着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题. 18. (12 分) (2013?湖南)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获 Y(单位:kg)与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率; (II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 考点

离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 专题

概率与统计. 分析

(I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近”的概 率; (II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望. 解答

(I) 所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15, 其中三角形地块内部的作物株数为 3, 边界上的作物株数为 12, 342472 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36 种,选取的两株作物恰好“相近” 的不同结果有 3+3+2=8, ∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相近”的概率 为 = ; (II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ∵P(Y=51)=P(X=1) ,P(48)=P(X=2) ,P(Y=45)=P(X=3) ,P(Y=42)=P(X=4) ∴只需求出 P(X=k) (k=1,2,3,4)即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4) ,则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = ∴所求的分布列为 Y P 51 48 45 42 数学期望为 E(Y)=51× +48× +45× +42× =46 点评

本题考查古典概率的计算,考查分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2013?湖南) 如图, 在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AD∥BC, ∠BAD=90°, AC⊥BD, BC=1, AD=AA1=3. (I)证明:AC⊥B1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 考点

直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题

计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析

(I)根据直棱柱性质,得 BB1⊥平面 ABCD,从而 AC⊥BB1,结合 BB1∩BD=B,证出 AC⊥平面 BB1D, 从而得到 AC⊥B1D; (II) 根据题意得 AD∥B1C1, 可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角即为直线 AD 与平面 ACD1 所成的角. 连 接 A1D,利用线面垂直的性质与判定证出 AD1⊥平面 A1B1D,从而可得 AD1⊥B1D.由 AC⊥B1D,可得 B1D⊥平面 ACD,从而得到∠ADB1 与 AD 与平面 ACD1 所成的角互余.在直角梯形 ABCD 中,根据 342472 Rt△ ABC∽Rt△ DAB,算出 AB= ,最后在 Rt△ AB1D 中算出 B1D= ,可得 cos∠ADB1= ,由此即 可得出直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 解答

解:解

(I)∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥BB1, 又∵AC⊥BD,BB1、BD 是平面 BB1D 内的相交直线 ∴AC⊥平面 BB1D, ∵B1D?平面 BB1D,∴AC⊥B1D; (II)∵AD∥BC,B1C1∥BC,∴AD∥B1C1, 由此可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角,等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ) 连接 A1D, ∵直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∠BAD=∠B1A1D1=90°, ∴B1A1⊥平面 A1D1DA,结合 AD1?平面 A1D1DA,得 B1A1⊥AD1 又∵AD=AA1=3,∴四边形 A1D1DA 是正方形,可得 AD1⊥A1D ∵B1A1、A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线,∴AD1⊥平面 A1B1D,可得 AD1⊥B1D, 由(I)知 AC⊥B1D,结合 AD1∩AC=A 可得 B1D⊥平面 ACD,从而得到∠ADB1=90°﹣θ, ∵在直角梯形 ABCD 中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到 Rt△ ABC∽Rt△ DAB 因此, ,可得 AB= = 连接 AB1,可得△ AB1D 是直角三角形, 2 2 2 2 2 2 ∴B1D =B1B +BD =B1B +AB +BD =21,B1D= 在 Rt△ AB1D 中,cos∠ADB1= = = , 即 cos(90°﹣θ)=sinθ= ,可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值为 . 点评

本题给出直四棱柱,求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值,着重考查了直四棱柱的性质、 线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识,属于中档题. 20. (13 分) (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建居民区, 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20) ,B(﹣10,0) ,C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某 一点 P 处修建一个文化中心. (I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 考点

根据实际问题选择函数类型;绝对值三角不等式. 专题

应用题;不等式的解法及应用. 分析

(I)根据“L 路径”的定义,可得点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值; (II)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小 值之和(记为 d)的最小值,分类讨论,利用绝对值的几何意义,即可求得点 P 的坐标. 解答

解:设点 P 的坐标为(x,y) ,则 (I)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|,y∈[0,+∞) ; (II)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小 值之和(记为 d)的最小值 ①当 y≥1 时,d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20| ∵d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24 ∴当且仅当 x=3 时,d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为 24 ∵d2(y)=2|y|+|y﹣20|≥21 ∴当且仅当 y=1 时,d2(y)=2|y|+|y﹣20|的最小值为 21 ∴点 P 的坐标为(3,1)时,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小,且最小值为 45; ②当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,∴d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20| 此时 d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|,d2(y)=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21 由①知 d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24,∴d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立 综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 点评

本题考查新定义,考查分类讨论的数学思想,考查学生建模的能力,同时考查学生的理解能力,属于难题. 342472 21. (13 分) (2013?湖南)过抛物线 E:x =2py(p>0)的焦点 F 作斜率率分别为 k1,k2 的两条不同直线 l1,l2, 且 k1+k2=2.l1 与 E 交于点 A,B,l2 与 E 交于 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦 所在直线记为 l. (I)若 k1>0,k2>0,证明

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ; ,求抛物线 E 的方程. 2 考点

直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;抛物线的标准方程. 专题

圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析

(Ⅰ)由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,写出两条直线的方程,由两条直线方程和抛物线方程联立求 342472 出圆 M 和圆 N 的圆心 M 和 N 的坐标,求出向量 和 的坐标,求出数量积后转化为关于 k1 和 k2 的表达 式,利用基本不等式放缩后可证得结论; (Ⅱ)利用抛物线的定义求出圆 M 和圆 N 的直径,结合(Ⅰ)中求出的圆 M 和圆 N 的圆心的坐标,写出 两圆的方程,作差后得到两圆的公共弦所在直线方程,由点到直线的距离公式求出点 M 到直线 l 的距离, 利用 k1+k2=2 转化为含有一个未知量的代数式,配方后求出最小值,由最小值等于 物线 E 的方程可求. 解答

(I) 由题意,抛物线 E 的焦点为 ,直线 l1 的方程为 . 求出 p 的值,则抛 由 ,得 . 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1,x2 是上述方程的两个实数根. 从而 x1+x2=2pk1, 所以点 M 的坐标为 同理可得点 N 的坐标为 于是 . . , , . . . 由题设 k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以 0< 故 (Ⅱ)由抛物线的定义得 所以 故圆 M 的方程为 化简得 同理可得圆 N 的方程为 . . , ,从而圆 M 的半径 , . , 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在的直线 l 的方程为 又 k2﹣k1≠0,k1+k2=2,则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0,所以点 M 到直线 l 的距离为 = 故当 时,d 取最小值 2 . . ,解得 p=8. .由题设 故所求抛物线 E 的方程为 x =16y. 点评

本题考查了抛物线的标准方程,考查了平面向量数量积的运算,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆 锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最 值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方 法.属难题. 22. (13 分) (2013?湖南)已知 a>0,函数 . (I)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (II)是否存在 a 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求 出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题

导数的综合应用. 分析

(I)利用绝对值的几何意义,分类讨论,结合导数确定函数的单调性,从而可得 g(a)的表达式; (II)利用曲线 y=f(x)在两点处的切线互相垂直,建立方程,从而可转化为集合的运算,即可求得结论. 解答

(I)当 0≤x≤a 时, ;当 x>a 时, 342472 ∴当 0≤x≤a 时, ,f(x)在(0,a)上单调递减; 当 x>a 时, ,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ①若 a≥4,则 f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)= ②若 0<a<4,则 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增 ∴g(a)max={f(0) ,f(4)} ∵f(0)﹣f(4)= = ;当 1<a<4 时,g(a)=f(0)= , ∴当 0<a≤1 时,g(a)=f(4)= 综上所述,g(a)= ; (II)由(I)知,当 a≥4 时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求; 当 0<a<4 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在 x1,x2∈(0,4) (x1<x2) , 使曲线 y=f(x)在 两点处的切线互相垂直,则 x1∈(0,a) ,x2∈(a,4) ,且 f′(x1)f′(x2)=﹣1 ∴ ? =﹣1 ∴ ① ∵x1∈(0,a) ,x2∈(a,4) , ∴x1+2a∈(2a,3a) , ∈( ,1) ,1)的交集非空 时,A∩B≠? ∴①成立等价于 A=(2a,3a)与 B=( ∵ ,∴当且仅当 0<2a<1,即 综上所述,存在 a 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是(0, ) . 点评

本题考查导数知识的运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,正确分类是关键.

第一篇:湖南2013年高考数学

2013 年湖南省高考数学试卷及答案(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 分)i 是虚数单位,复数 (5 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1+2i ) D.不能确定 D.﹣1﹣2i 2. 分)若 M={直线},N={抛物线},则 M∩N 的元素个数是( (5 A.0 B.1 C.2 3. 分)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几 (5 何体的体积为( ) A.π+2 B. C.2π+2 D.2 4. 分)高三某班团支部换届进行差额选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、 (5 组织委员和宣传委员,并且要求乙是上届组织委员不能连任原职,则换届后不同的任职结果有( ) A.16 种 B.18 种 C.20 种 D.22 种 5. 分)若在区域 (5 内任取一点 P,则点 P 恰好在单位圆 x +y =1 内的概率为( 2 2 ) A. B. C. D. 6. 分)设直线 l 的方程为:x+ysinθ﹣2013=0(θ∈R) (5 ,则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( A.[0,π) B. C. D. ) 7. 分)下列命题正确的有 (5 2 ①用相关指数 R 来刻画回归效果越小,说明模型的拟合效果越好; 2 2 ②命题 p:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定?p:“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”; ③设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=p,则 ④回归直线一定过样本中心( )( . A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 ; 8. 分)在平面直角坐标系中,定义点 P(x1,y1) (5 、Q(x2,y2)之间的“理想距离”为:d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1 ﹣y2|;若 C(x,y)到点 A(2,3) 、B(8,8)的“理想距离”相等,其中实数 x、y 满足 0≤x≤8、0≤y≤8,则所有满 足条件的点 C 的轨迹的长度之和是( ) A.3+ B. C.10 D.5 二、 填空题

本大题共 8 小题, 考生作答 7 小题, 每小题 0 分, 35 分, 共 把答案填在答题卡中对应号后的横线上. 一) ( 选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) (二)必做题(12~16 题) 9.计算 的值等于 _________ . 10. 分)如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 (5 , ,则圆 O 的面积等于 _________ . 11. 分)若曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=2sinθ,则曲线 C 的普通方程为 _________ . (5 12. 分)看图程序运行后的输出结果 s= (5 _________ . 2 13. 分)已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α∥β,则 p (5 是q的 _________ 条件. 14. 分)为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下:明文 (5 文 密文 密 明文.现在加密密钥为 y=loga(x+2) 如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送, , 接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为 _________ . 15. 分)已知 a,b,c 成等差数列,则直线 ax﹣by+c=0 被曲线 x +y ﹣2x﹣2y=0 截得的弦长的最小值为 (5 _________ . 16. 分)已知 x,y∈N ,且 1+2+3+4+…+y=1+9+9 ++…+9 (5 函数,其解析式是 y= _________ . * 2 x﹣1 2 2 ,当 x=2 时,y= _________ ;若把 y 表示成 x 的 第2页 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)已知 ,设 ω>0, , . ,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离等于 (1)求 ω 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, .当 f(A)=1 时,求 b,c 的值. 18. (12 分)在一次考试中共有 8 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生 有 4 道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断 2 个选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ)求该考生 8 道题全答对的概率; (Ⅱ)若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考生所得分数的分布列. 19. 分) (12 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长是 , 侧棱长是 3, E、 分别在 BB1、 1 上, AE⊥A1B, 点 F DD 且 AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥面 AEF; (2)求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 θ 的正切值. 20. (13 分)京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营,G808 次列车在平直的铁轨上匀速行驶,由于遇到紧急 情况,紧急刹车时列车行驶的路程 S(t) (单位:m)和时间 t(单位:s)的关系为

. (1)求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间; (2)求列车正常行驶的速度; (3)求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 21. (13 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M(1,2) ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴 是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)对于抛物线上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,求 a 的取值范围. 22. (13 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣ax+a(x∈R)同时满足

①不等式 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素; ②在定义域内存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立. 设数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) , (1)求数列{an}的通项公式; 2 第3页 (2)数列{bn}中,令 ,Tn= ,求 Tn; (3) 设各项均不为零的数列{cn}中, 所有满足 ci?ci+1<0 的正整数 i 的个数称为这个数列{cn}的变号数. 令 (n 为正整数) ,求数列{cn}的变号数. 第4页 2013 年湖南省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 分)i 是虚数单位,复数 (5 A.2+i B.2﹣i =( ) C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 考点

复数代数形式的乘除运算. 专题

计算题. 分析

要求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分子和分母上进行复数的乘法运算,最后 结果要化简成最简形式. 解答

解:复数 = = =2﹣i 407442 故选 B. 点评

本题考查复数的代数形式的乘除运算,是一个基础题,这种题目运算量不大,解题应用的原理也比较简单, 是一个送分题目. 2. 分)若 M={直线},N={抛物线},则 M∩N 的元素个数是( (5 A.0 B.1 C.2 考点

专题

分析

解答

) D.不能确定 函数的零点. 函数的性质及应用. 根据两个集合的意义,两个集合的交集的定义,求得 M∩N 的元素个数. 解:由于 M={直线},表示所有直线构成的集合,N={抛物线},表示所有的抛物线构成的集合, 故 M∩N=?,故 M∩N 的元素个数是 0, 故选 A. 点评

本题主要考查两个集合的交集的定义和求法,集合的表示方法,属于基础题. 407442 3. 分)如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几 (5 何体的体积为( ) A.π+2 B. C.2π+2 D.2 考点

由三视图求面积、体积. 专题

计算题;空间位置关系与距离. 分析

由三视图知,几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,再利用体积公式,即可得到结论. 407442 第5页 解答

解:由三视图知,几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱, 三棱柱的是一个底面是斜边为 2 的等腰直角三角形,高是 2,圆柱的底面半径是 1,高是 2, 所以该几何体的体积为 =π+2 故选 A. 点评

本题考查由三视图还原几何体的直观图,考查几何体体积的计算,属于基础题. 4. 分)高三某班团支部换届进行差额选举,从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、 (5 组织委员和宣传委员,并且要求乙是上届组织委员不能连任原职,则换届后不同的任职结果有( ) A.16 种 B.18 种 C.20 种 D.22 种 考点

专题

分析

解答

排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 利用两个计数原理及排列和组合的计算公式即可得出. 解:分为以下两类: 407442 一类:若选出的 3 人中有乙,还得选出另外 2 人有 , 因此,共有 =12 种不同的结果; ,又乙只能从书记、宣传委员中选出一个职位,可有 另一类:若选出的 3 人中没有乙,则可有 =6 种不同的结果. 综上共有:12+6=18 种不同的结果. 故选 B, 点评

熟练掌握两个计数原理及排列和组合的计算公式是解题的关键. 5. 分)若在区域 (5 内任取一点 P,则点 P 恰好在单位圆 x +y =1 内的概率为( 2 2 ) A. B. C. D. 考点

简单线性规划的应用;几何概型. 专题

计算题;不等式的解法及应用. 分析

作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ AB0 及其内部.单位圆 x2+y2=1 位于△ AB0 内的部分为一 407442 个圆心角为 解答: 的扇形,由此结合几何概型计算公式和面积公式,即可算出所求的概率. 解:作出不等式组 表示的平面区域, 得到如图的△ AB0 及其内部,其中 A(1,0) ,B(0,1) 为坐标原点 ,0 ∵单位圆 x +y =1 位于△ AB0 内的部分为一个扇形,其圆心角为 2 2 第6页 ∴在区域 内任取一点 P, 点 P 恰好在单位圆 x +y =1 内的概率为 P= 2 2 = = 故选:A 点评

本题给出不等式组表示的平面区域内一点,求点 P 恰好在单位圆 x2+y2=1 内的概率.着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和几何概型等知识,属于基础题. 6. 分)设直线 l 的方程为:x+ysinθ﹣2013=0(θ∈R) (5 ,则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( A.[0,π) B. C. D. ) 考点

直线的一般式方程. 专题

直线与圆. 分析

当 sinθ=0 时,直线 l 的斜率不存在,倾斜角 α= 407442 ,当 sinθ≠0 时,直线 l 的斜率 k= 结合正弦函数 的值域及反比例函数的性质,可以分析出直线 l 的斜率 k 的取值范围,进而得到倾斜角的范围,综合讨论结 果,可得答案. 解答

解:当 sinθ=0 时,直线 l 的方程为:x﹣2013=0 此时倾斜角 α= 当 sinθ≠0 时,直线 l 的方程为:y= 直线 l 的斜率 k= 直线 l 的倾斜角 α∈ 综上所述:直线 l 的倾斜角 α∈ 故选 C 点评

本题考查的知识点是直线的方程,直线斜率与倾斜角的关系,解答时易忽略直线 l 的斜率不存在,倾斜角 α= ,而错选 D. x+2013 ∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) 7. 分)下列命题正确的有 (5 2 ①用相关指数 R 来刻画回归效果越小,说明模型的拟合效果越好; 2 2 ②命题 p:“?x0∈R,x0 ﹣x0﹣1>0”的否定?p:“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”; 第7页 ③设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,若 P(ξ>1)=p,则 ④回归直线一定过样本中心( )( . A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 ; D.4 个 考点

命题的真假判断与应用;命题的否定;线性回归方程;正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题

证明题. 分析

①相关指数表示拟合效果的好坏,指数越大,相关性越强.②存在性命题的否定是全称命题③正态分布函 数曲线的特点是:关于 x=μ 对称,在 x=μ 处达到最大值④性回归方程一定过样本中心点,在一组模型中残 差平方和越小,拟合效果越好, 解答

解:①R2 越大拟合效果越好,故①不正确, ②由存在性命题的否定是全称命题得②正确, 407442 ③正态分布函数曲线的特点是:关于 x=0 对称,在 x=0 处达到最大值,且 p(ξ<0)= ,若 P(ξ>1)=p 则若 P(ξ<﹣1)=p 所以 .故③正确. ④样本中心点在直线上,故④正确 故选 C. 点评

本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法,要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度,只 有利用独立性检验的有关计算,才能做出判断.大于 0.75 时,表示两个变量有很强的线性相关关系. 8. 分)在平面直角坐标系中,定义点 P(x1,y1) (5 、Q(x2,y2)之间的“理想距离”为:d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1 ﹣y2|;若 C(x,y)到点 A(2,3) 、B(8,8)的“理想距离”相等,其中实数 x、y 满足 0≤x≤8、0≤y≤8,则所有满 足条件的点 C 的轨迹的长度之和是( ) A.3+ B. C.10 D.5 考点

专题

分析

解答: 两点间的距离公式. 新定义. 利用新定义对 x、y 分类讨论即可得出. 解:∵d(C,A)=|x﹣2|+|y﹣3|,d(C,B)=|x﹣8|+|y﹣8|,d(C,A)=d(C,B) , ∴|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣8|+|y﹣8|, (*) ∵实数 x、y 满足 0≤x≤8、0≤y≤8,则可以分以下 4 种情况

①当 0≤x<2,0≤y≤3 时, (*)化为 2﹣x+3﹣y=8﹣x+8﹣y,即 11=0,矛盾,此种情况不可能; 407442 ②当 0≤x<2,3<y≤8 时, (*)化为 2﹣x+y﹣3=8﹣x+8﹣y,得到 y= ③当 2≤x≤8,0≤y≤3 时, (*)化为 x﹣2+3﹣y=8﹣x+8﹣y,得到 x= >8,此时矛盾,此种情况不可能; ,此时满足条件的点 C(x,y)的轨 迹的长度为 3; ④当 2≤x≤8,3<y≤8 时, (*)化为 x﹣2+y﹣3=8﹣x+8﹣y,得到 x+y=10.5,令 y=8,得 x=2.5,点(2.5,8) ; 令 y=3,得 x=7.5,点(7.5,3) . 此时满足条件的点 C(x,y)的轨迹的长度= 综上可知:所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和是 3+5 故选 A. 点评

正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键. . = . 二、 填空题

本大题共 8 小题, 考生作答 7 小题, 每小题 0 分, 35 分, 共 把答案填在答题卡中对应号后的横线上. 一) ( 选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) (二)必做题(12~16 题) 第8页 9.计算 的值等于 2 . 考点

定积分. 专题

计算题. 2 分析

根据定积分的计算法则进行计算,求出 3x 的原函数即可; 解答

3 3 解

= =1 ﹣(﹣1) =2, 407442 故答案为 2. 点评

此题主要考查定积分的计算,这是高考新增的知识点,此题是一道基础题. 10. 分)如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 (5 , ,则圆 O 的面积等于 4π . 考点

正弦定理. 专题

计算题. 分析

设圆的半径为 R,由正弦定理可得, 407442 可求圆的半径,进而可求圆的面积 解答

解:设圆的半径为 R 由正弦定理可得, ∵ ∴2R= , ∴R=2,S=4π 故答案为:4π 点评

本题主要考查了正弦定理的简单应用,属于基础试题 11. 分)若曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=2sinθ,则曲线 C 的普通方程为 x =2y . (5 考点

专题

分析

解答

简单曲线的极坐标方程. 直线与圆. 2 2 曲线的方程即 ρ ?cos θ=2ρsinθ,根据极坐标和直角坐标之间的互化公式,求出它的直角坐标方程. 2 2 2 2 解:曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ=2sinθ,即 ρ ?cos θ=2ρsinθ,化为直角坐标方程为 x =2y, 2 故答案为 x =2y 点评

本题主要考查曲线的极坐标方程和直角坐标方程之间的互化,属于基础题. 407442 2 2 12. 分)看图程序运行后的输出结果 s= (5 21 . 第9页 考点

专题

分析

解答: 伪代码. 图表型. 先读懂程序的算法,再据算法规则依次算出结果.可以看出这是一个循环结构.依其特点求解即可. 解:程序是一个循环结构,步长是 2,每循环一次 i 就加进 2,初始 i=1, 可循环 4 次,第 4 次进入循环体后 i=9,故 S=9×2+3=21. 故答案为:21. 点评

考查算法语言的结构,此类题的做法通常是把值代入,根据其运算过程求出值. 407442 13. 分)已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命题 q:α∥β,则 p (5 是q的 必要不充分 条件. 考点

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析

a 与 b 没有公共点,则 a 与 b 所在的平面 β 可能平行,也可能相交(交点不在直线 b 上) ;但 α∥β,则面面 平行的性质定理,我们易得 a 与 b 平行或异面.结合充要条件定义即可得到结论. 解答

解:∵a 与 b 没有公共点时,a 与 b 所在的平面 β 可能平行,也可能相交(交点不在直线 b 上) ; ∴命题 p:a 与 b 没有公共点?命题 q:α∥β,为假命题; 又∵α∥β 时,a 与 b 平行或异面,即 a 与 b 没有公共点 ∴命题 q:α∥β?命题 p:a 与 b 没有公共点,为真命题; 故 p 是 q 的必要不充分条件 故答案:必要不充分 点评

本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,我们先判断 p?q 与 q?p 的真假,再根据充要 条件的定义给出结论. 407442 14. 分)为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统,其加密、解密原理如下:明文 (5 文 密文 密 明文.现在加密密钥为 y=loga(x+2) 如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送, , 接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为 14 . 考点

通讯安全中的基本问题. 专题

计算题. 分析

根据题意中给出的解密密钥为 y=loga(x+2) ,及明文“6”通过加密后得到密文“3”,可求出底数 a 的值,若接 受方接到密文为“4”,不妨解密后得明文为 b,构造方程,解方程即可解答. 解答

解:∵加密密钥为 y=loga(x+2) , 由其加密、解密原理可知,当 x=6 时,y=3,从而 a=2; 不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为 b,则有 4=log2(b+2) ,从而有 b=24﹣2=14. 即解密后得明文为 14 故答案为:14. 407442 第 10 页 点评

本题考查新运算,解题的关键是:根据新运算的定义,将已知中的数据代入进行运算,易得最终结果. 15. 分)已知 a,b,c 成等差数列,则直线 ax﹣by+c=0 被曲线 x +y ﹣2x﹣2y=0 截得的弦长的最小值为 (5 2 2 2 . 考点

直线与圆锥曲线的关系. 专题

计算题. 分析

利用等差数列的定义得到 2b=a+c,求出圆心坐标及半径,求出圆心到直线的距离 d,利用勾股定理求出弦 长,求出最小值. 解答

解:因为 a,b,c 成等差数列, 所以 2b=a+c 407442 因为 x +y ﹣2x﹣2y=0 表示以(1,1)为圆心,以 则圆心到直线的距离为 d= 2 2 2 2 为半径的圆, = 则直线 ax﹣by+c=0 被曲线 x +y ﹣2x﹣2y=0 截得的弦长 l= ≥2 所以 0 截得的弦长的最小值为 2, 故答案为 2. 点评

求直线与圆相交的弦长问题,一般通过构造直角三角形,利用勾股定理求出弦长. 16. 分)已知 x,y∈N ,且 1+2+3+4+…+y=1+9+9 ++…+9 (5 解析式是 y= . * 2 x﹣1 ,当 x=2 时,y= 4 ;若把 y 表示成 x 的函数,其 考点

等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和. 专题

等差数列与等比数列. 分析

把 x=2 代入已知可得 =10,解之即可;由又求和公式可得 407442 = ,解之可 得答案. 解答

解:由题意可得 x=2 时,1+2+3+4+…+y=1+9, 故可得 =10,解得 y=4, 2 x﹣1 又由 1+2+3+4+…+y=1+9+9 ++…+9 = 可得 , ,即 y(y+1)= 故 y= , 故答案为:4; 点评

本题考查等差数列和等比数列的求和公式,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 11 页 17. (12 分)已知 ,设 ω>0, , . ,若 f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离等于 (1)求 ω 的值; (2)在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, .当 f(A)=1 时,求 b,c 的值. 考点

余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题

三角函数的图像与性质;解三角形;平面向量及应用. 分析

(1)由数量积的定义和三角函数的公式可得 f(x)= 407442 ,又可得 ,由周期公式可 得; (2)由题意可得 解答

(1)∵ = 又 ∴ = ,解得 ω=1; , , ,由余弦定理和面积可得 b,c 的方程组,解之即可. (2)∵f(A)=1,∴ 由 0<A<π 得 , 又∵ ∴ 解得 或 点评

本题考查平面向量数量积的运算,以及余弦定理的应用,属中档题. 18. (12 分)在一次考试中共有 8 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生 有 4 道题已选对正确答案,其余题中有两道只能分别判断 2 个选项是错误的,还有两道题因不理解题意只好乱猜. (Ⅰ)求该考生 8 道题全答对的概率; (Ⅱ)若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考生所得分数的分布列. 考点

相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列. 专题

应用题. 分析

(Ⅰ)根据题意,该考生 8 道题全答对即另四道题也全答对,根据相互独立事件概率的乘法公式,计算可 得答案. (Ⅱ)根据题意,分析可得,该生答对题的个数可能为 4,5,6,7,8,分别求出其概率,进而可得其分布 列. 解答

(Ⅰ)根据题意,该考生 8 道题全答对即另四道题也全答对, 407442 第 12 页 即相互独立事件同时发生,故其概率为:P= . 分) (5 (Ⅱ)根据题意,分析可得,该生答对题的个数可能为 4,5,6,7,8, 其概率分别为: P(ξ=8)= 分布列为: (13 分) 点评

本题考查相互独立事件概率的乘法公式与随机变量的分布列,两者经常一起考查,平时要加强这方面的训 练. 19. 分) (12 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长是 , 侧棱长是 3, E、 分别在 BB1、 1 上, AE⊥A1B, 点 F DD 且 AF⊥A1D. (1)求证:A1C⊥面 AEF; (2)求截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 θ 的正切值. 考点

直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题

计算题;证明题;空间角. 分析

(1)连接 A1C,证明 AE⊥A1C,AF⊥A1C,利用直线与平面垂直的判定定理证明 A1C⊥面 AEF; (2)如图说明∠NAO=θ 就是截面 AEF 与底面 ABCD 所成二面角 θ,通过解三角形,求出 AC,BE,即可 求解 θ 的正切值. 解答

证明

(1)连接 A1C 正四棱柱?CB⊥平面 ABB1A1?CB⊥AE 又∵AE⊥A1B ∴AE⊥平面 A1BC?AE⊥A1C 同理可得:AF⊥A1C ∴A1C⊥平面 AEF (2)∵AE⊥A1B?Rt△ ABA1∽Rt△ ABE?∠ABA1=∠BEA, 如图 EF 的中点为 N,AC 的中点为 O,连结 NO,则∠NAO=θ, 407442 第 13 页 又 ∴ 得 同理 又 ∴ 底面边长是 ,侧棱长是 3 , ,BE=1 DF=1 , . 点评

本题考查直线与平面垂直的判定定理,二面角的求法,考查空间想象能力与计算能力. 20. (13 分)京广高铁于 2012 年 12 月 26 日全线开通运营,G808 次列车在平直的铁轨上匀速行驶,由于遇到紧急 情况,紧急刹车时列车行驶的路程 S(t) (单位:m)和时间 t(单位:s)的关系为

. (1)求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间; (2)求列车正常行驶的速度; (3)求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 考点

函数模型的选择与应用;导数的运算. 专题

导数的综合应用. 分析

(1)利用导数求出列车的速度关于 t 的表达式,令 v(t)=0 解出即可; (2)利用(1) ,令 t=0,解出即可; (3)因为加速度 a(t)=V'(t) ,利用导数求出即可. 解答

(1)∵紧急刹车后列车的速度 V(t)=S'(t) , 407442 ∴ , 当列车完全停止时 V(t)=0m/s, 2 ∴t ﹣4t﹣60=0, 解得 t=10 或 t=﹣6(舍去) . 即从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10s. (2)由(1)知,从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间为 10 s, 又由列车的速度 ∴火车正常行驶的速度当 t=0 时,V(0)=90m/s (3)∵紧急刹车后列车运行的加速度 a(t)=V'(t) 第 14 页 ∴ ∵|a(t)|= ∴|a(0)|最大,|a(t)|max=84m/s ′ ′ 点评

熟练掌握 v(t)=s (t) ,a(t)=v (t)是解题的关键. 21. (13 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M(1,2) ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴 是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (1)求这三条曲线的方程; (2)对于抛物线上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,求 a 的取值范围. 考点

圆锥曲线的共同特征;抛物线的简单性质. 专题

计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析

(1)由题意求出平行方程,得到椭圆与双曲线的焦点坐标,求出椭圆与双曲线中 a,b,然后求椭圆与双曲 线的方程; (2)设出抛物线上任意一点 Q 的坐标,点 P(a,0)求出|PQ|,利用|PQ|≥|a|恒成立,求 a 的取值范围. 2 解答

(1)设抛物线方程为 y =2px(p>0) , 将 M(1,2)代入方程得 p=2 2 ∴抛物线方程为:y =4x 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F(﹣1,0)1,F2(1,0) , ∴c=1 407442 2 对于椭圆, ∴ , 所以椭圆方程为 对于双曲线, ∴ , 所以双曲线方程为 (2)设 由|PQ|≥|a|得 2 2 , t +16﹣8a≥0,t ≥8a﹣16 恒成立 则 8a﹣16≤0,a≤2 ∴a∈(﹣∞,2] 点评

本题考查圆锥曲线的共同特征,三种曲线的求法,两点间的距离公式的应用,考查学生分析问题与解决问 题的能力,考查转化思想. 22. (13 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣ax+a(x∈R)同时满足: 第 15 页 2 ①不等式 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素; ②在定义域内存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立. 设数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n) , (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}中,令 ,Tn= ,求 Tn; (3) 设各项均不为零的数列{cn}中, 所有满足 ci?ci+1<0 的正整数 i 的个数称为这个数列{cn}的变号数. 令 (n 为正整数) ,求数列{cn}的变号数. 考点

数列与函数的综合. 专题

综合题;等差数列与等比数列. 分析

(1)由 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素可知△ =a2﹣4a=0,从而可求得 a 值,又定义域内存在 0<x1<x2, 使得不等式 f(x1)>f(x2)成立,对 a 进行检验取舍,可确定 a 值,利用 Sn 与 an 的关系即可求得 an. (2)由(1)求得 bn,根据其结构特征利用错位相减法即可求得 Tn; (3)先求出 Cn,判断 n≥3 时数列的单调性,根据变号数的定义可得 n≥3 时的变号数,根据 c1=﹣3,c2=5, c3=﹣3,可得此处变号数,从而可求得数列{cn}的变号数. 解答

(1)∵f(x)≤0 的解集有且只有一个元素, 2 ∴△=a ﹣4a=0?a=0 或 a=4, 2 当 a=0 时,函数 f(x)=x 在(0,+∞)上递增, 故不存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立, 2 当 a=4 时,函数 f(x)=x ﹣4x+4 在(0,2)上递减, 故存在 0<x1<x2,使得不等式 f(x1)>f(x2)成立. 2 综上,得 a=4,f(x)=x ﹣4x+4, 407442 ∴ , ∴ ; (2)∵ = , ∴bn=n, ,① ,② ①﹣②得,﹣Tn=2+2 +…+2 ﹣n?2 ∴ ; 2 n n+1 = ﹣n?2 n+1 , (3)由题设 第 16 页 ∵n≥3 时, ∴n≥3 时,数列{cn}递增, ∵ ,由 , , 可知 a4?a5<0,即 n≥3 时,有且只有 1 个变号数; 又∵c1=﹣3,c2=5,c3=﹣3, 即 c1?c2<0,c2?c3<0, ∴此处变号数有 2 个. 综上得 数列{cn}共有 3 个变号数,即变号数为 3; 点评

本题考查数列与函数的综合,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,考查学生解决新问题 的能力,综合性强,难度大,对能力要求高. 第 17 页

第一篇:湖南2013年高考数学

2013 年湖南省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?湖南)复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分) (2013?湖南)某校有男、女学生各 500 名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著 差异,拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ) A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 分析

若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样 解答

解:总体由男生和女生组成,比例为 500:500=1:1,所抽取的比例也是 1:1. 故拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样法. 故选 D 3. (5 分) (2013?湖南)在锐角△ ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= b,则角 A 等于( A. B. C. D. ) 4. (5 分) (2013?湖南)若变量 x,y 满足约束条件 ,则 x+2y 的最大值是( ) A. B.0 C. D. 5. (5 分) (2013?湖南)函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x ﹣4x+5 的图象的交点个数为( A .3 B.2 C .1 D.0 2 ) 6. (5 分) (2013?湖南) 已知 , 是单位向量, A. B. , 若向量 满足 C. , 则 D. 的取值范围为 ( ) 点评

本题考查平面向量的数量积运算,根据题意作出图象,数形结合是解决本题的有力工具. 7. (5 分) (2013?湖南)已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不 可能是( ) A .1 B. C. D. 8. (5 分) (2013?湖南)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图 1) ,若光线 QR 经过△ ABC 的重心,则 AP 等于( ) A .2 B.1 C. D. 考点

与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题

直线与圆. 分析

建立坐标系,设点 P 的坐标,可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1 的坐标,和 P 关于 y 轴的对称点 P2 的坐标, 由 P1,Q,R,P2 四点共线可得直线的方程,由于过△ ABC 的重心,代入可得关于 a 的方程,解之可得 P 的 坐标,进而可得 AP 的值. 解答

解:建立如图所示的坐标系

可得 B(4,0) ,C(0,4) ,故直线 BC 的方程为 x+y=4, 342472 △ ABC 的重心为( , ) ,设 P(a,0) ,其中 0<a<4, 则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x,y) ,满足 , 解得 ,即 P1(4,4﹣a) ,易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(﹣a,0) , 由光的反射原理可知 P1,Q,R,P2 四点共线, 直线 QR 的斜率为 k= = ,故直线 QR 的方程为 y= 2 (x+a) , 由于直线 QR 过△ ABC 的重心( , ) ,代入化简可得 3a ﹣4a=0, 解得 a= ,或 a=0(舍去) ,故 P( ,0) ,故 AP= 故选 D 点评

本题考查直线与点的对称问题,涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用,属中档题. 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,第小题 5 分,共 35 分. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三 题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分) (二)必做题(12~16 题) 9. (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l

的右顶点,则常数 a 的值为 3 . , (t 为参数)过椭圆 C

(θ 为参数) 考点

参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题

圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析

直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程,求出椭圆的右顶点,代入直线方程即可求得 a 的 值. 解答

解:由直线 l

,得 y=x﹣a, 342472 再由椭圆 C: ,得 , ①+② 得, 所以椭圆 C: 2 2 . 的右顶点为(3,0) . 因为直线 l 过椭圆的右顶点,所以 0=3﹣a,所以 a=3. 故答案为 3. 点评

本题考查了参数方程和普通方程的互化,考查了直线和圆锥曲线的关系,是基础题. 10. (5 分) (2013?湖南)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a +4b +9c 的最小值为 12 . 考点

柯西不等式;柯西不等式的几何意义. 专题

计算题;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 2 2 分析

根据柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12) (a +4b +9c )=3(a +4b +9c ) ,化 342472 2 2 2 简得 a +4b +9c ≥12,由此可得当且仅当 a=2,b=1,c= 时,a +4b +9c 的最小值为 12. 解答

解:∵ a+2b+3c=6, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ 根据柯西不等式,得(a+2b+3c) =(1×a+1×2b+1×3c) ≤(1 +1 +1 )[a +(2b) +(3c) ] 2 2 2 2 2 2 2 化简得 6 ≤3(a +4b +9c ) ,即 36≤3(a +4b +9c ) 2 2 2 ∴ a +4b +9c ≥12, 当且仅当 a:2b:3c=1:1:1 时,即 a=2,b=1,c= 时等号成立 由此可得:当且仅当 a=2,b=1,c= 时,a +4b +9c 的最小值为 12 故答案为:12 点评

本题给出等式 a+2b+3c=6,求式子 a2+4b2+9c2 的最小值.着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式 的等号成立的条件等知识,属于中档题. 11. (5 分) (2013?湖南)如图,在半径为 CD 的距离为 . 的⊙ O 中,弦 AB,CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 2 2 2 2 2 2 2 2 2 考点

专题

分析

解答: 圆內接多边形的性质与判定;与圆有关的比例线段. 计算题. 首先利用相交弦定理求出 CD 的长,再利用勾股定理求出圆心 O 到弦 CD 的距离,注意计算的正确率. 解:由相交弦定理得,AP×PB=CP×PD, ∴ 2×2=CP?1, 解得:CP=4,又 PD=1, ∴ CD=5, 又⊙ O 的半径为 , 342472 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 d= 故答案为

. = = 点评

此题主要考查了相交弦定理,垂径定理,勾股定理等知识,题目有一定综合性,是中考中热点问题. 12. (5 分) (2013?湖南)若 ,则常数 T 的值为 3 . 考点

定积分. 专题

计算题. 分析

利用微积分基本定理即可求得. 解答

= =9,解得 T=3, 342472 故答案为:3. 点评

本题考查定积分、微积分基本定理,属基础题. 13. (5 分) (2013?湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 9 . 考点

程序框图. 专题

图表型. 分析

分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环累加 a 值, 并判断满足 a>8 时输出 a 的值. 342472 解答

解:程序在运行过程中各变量的聚会如下表示

是否继续循环 a b 循环前/1 2 第一圈 是 3 2 第二圈 是 5 2 第三圈 是 7 2 第四圈 是 9 2 第五圈 否 故最终输出的 a 值为 9. 故答案为:9. 点评

根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是

:① 分析流程 图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与 运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?② 建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择 恰当的数学模型③ 解模. 14. (5 分) (2013?湖南) 设 F1, F2 是双曲线 C

且△ PF1F2=30°的最小内角为 30°,则 C 的离心率为 考点

专题

分析

解答

双曲线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 342472 (a>0, b>0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a, . 利用双曲线的定义求出|PF1|,|F1F2|,|PF2|,然后利用最小内角为 30°结合余弦定理,求出双曲线的离心率. 解:因为 F1、F2 是双曲线的两个焦点,P 是双曲线上一点,且满足|PF1|+|PF2|=6a, 不妨设 P 是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a 所以|F1F2|=2c,|PF1|=4a,|PF2|=2a, ∵ △ PF1F2 的最小内角∠ PF1F2=30°,由余弦定理, 2 2 2 ∴ |PF2| =|F1F2| +|PF1| ﹣2|F1F2||PF1|cos∠ PF1F2, 2 2 2 即 4a =4c +16a ﹣2c×4a× , 2 2 ∴ c ﹣2 ca+3a =0, ∴ c= a 所以 e= = . 故答案为

. 点评

本题考查双曲线的定义,双曲线的离心率的求法,考查计算能力. 15. (5 分) (2013?湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, (1)a3= ﹣ ; . ,n∈N ,则 * (2)S1+S2+…+S100= 考点

数列的求和;数列的函数特性. 专题

等差数列与等比数列. 分析

(1)把给出的数列递推式先分 n=1 和 n≥2 讨论,由此求出首项和 n≥2 时的关系式 342472 .对此关系式再分 n 为偶数和奇数分别得到当 n 为偶数和奇数时 的通项公式,则 a3 可求; (2)把(1)中求出的数列的通项公式代入 比数列的前 n 项和公式可求得结果. 解答

解:由 当 n=1 时,有 当 n≥2 时, 即 若 n 为偶数,则 所以 若 n 为奇数,则 所以 所以(1) 故答案为﹣ (2)因为 又 则 ; (n 为正奇数) ,所以﹣ . (n 为正偶数) . . (n 为正奇数) ; = . . ,n∈N , ,得 . * ,n∈N ,则利用数列的分组求和和等 * . . , (n 为正偶数) ,所以 . , . 则 … . . 所以,S1+S2+S3+S4+…+S99+S100 = = = = 故答案为 . . 点评

本题考查了数列的求和,考查了数列的函数特性,解答此题的关键在于当 n 为偶数时能求出奇数项的通项, 当 n 为奇数时求出偶数项的通项,此题为中高档题. 16. (5 分) (2013?湖南)设函数 f(x)=a +b ﹣c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x) 的零点的取值集合为 {x|0<x≤1} . (2)若 a,b,c 是△ ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 ① ② ③ . (写出所有正确结论的序号) ① ?x∈(﹣∞,1) ,f(x)>0; x x x ② ?x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长; ③ 若△ ABC 为钝角三角形,则?x∈(1,2) ,使 f(x)=0. 考点

命题的真假判断与应用;函数的零点;进行简单的合情推理. 专题

阅读型. 分析

x x x (1)由集合 M 中的元素满足的条件,得到 c≥a+b=2a,求得 的范围,解出函数 f(x)=a +b ﹣c 的零点, 342472 x x x 利用不等式可得零点 x 的取值集合; (2)对于① ,把函数式 f(x)=a +b ﹣c 变形为 用指数函数的单调性即可证得结论成立; 对于② ,利用取特值法说明命题是正确的; 对于③ ,由△ ABC 为钝角三角形说明 f(2)<0,又 f(1)>0,由零点的存在性定理可得命题③ 正确. 解答

(1)因为 c>a,由 c≥a+b=2a,所以 令 f(x)=a +b ﹣c = 得 ,所以 . x x x x x x ,利 ,则 . . 所以 0<x≤1. 故答案为{x|0<x≤1}; (2)因为 又 , . , 所以对?x∈(﹣∞,1) , 所以命题① 正确; x x x 令 x=1,a=b=1,c=2.则 a =b =1,c =2.不能构成一个三角形的三条边长. 所以命题② 正确; 2 2 2 若三角形为钝角三角形,则 a +b ﹣c <0. 2 2 2 f(1)=a+b﹣c>0,f(2)=a +b ﹣c <0. 所以?x∈(1,2) ,使 f(x)=0. 所以命题③ 正确. 故答案为① ② ③ . 点评

本题考查了命题真假的判断与应用,考查了函数零点的判断方法,训练了特值化思想方法,解答此题的关 键是对题意的正确理解,此题是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2013?湖南)已知函数 (I)若 α 是第一象限角,且 ,求 g(α)的值; , . (II)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 考点

两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦;正弦函数的单调性. 专题

计算题;三角函数的图像与性质. 分析

(I)根据两角和与差的三角函数公式化简,得 f(x)= sinx,结合 解出 sinα= ,利用同 342472 角三角函数的基本关系算出 cosα= .由二倍角的余弦公式进行降次,可得 g(x)=1﹣cosx,即可算出 g(α) =1﹣cosα= ; (II)f(x)≥g(x) ,即 sinx≥1﹣cosx,移项采用辅助角公式化简整理,得 2sin(x+ )≥1,再根据正弦 函数的图象与性质,即可求出使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 解答

:∵ sin(x﹣ cos(x﹣ ∴ 而 (I)∵ =1﹣cosx ,∴ sinα= ,解之得 sinα= = )=sinxcos ﹣cosxsin = sinx﹣ cosx sinx sinx﹣ cosx)+( cosx+ sinx)= sinx )=cosxcos +sinxsin = cosx+ =( ∵ α 是第一象限角,∴ cosα= 因此,g(α)= (II)f(x)≥g(x) ,即 移项,得 ∴ sin(x+ =1﹣cosα= , sinx≥1﹣cosx sinx+cosx≥1,化简得 2sin(x+ )≥ ,可得 +2kπ≤x+ ≤ )≥1 +2kπ(k∈Z) 解之得 2kπ≤x≤ +2kπ(k∈Z) +2kπ(k∈Z)} 因此,使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为{x|2kπ≤x≤ 点评

本题给出含有三角函数的两个函数 f(x) 、g(x) ,求特殊函数值并讨论使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集 合.着重考查了三角恒等变换、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题. 18. (12 分) (2013?湖南)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获 Y(单位:kg)与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率; (II)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 考点

离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 专题

概率与统计. 分析

(I)确定三角形地块的内部和边界上的作物株数,分别求出基本事件的个数,即可求它们恰好“相近”的概 率; (II)确定变量的取值,求出相应的概率,从而可得年收获量的分布列与数学期望. 解答

(I) 所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15, 其中三角形地块内部的作物株数为 3, 边界上的作物株数为 12, 342472 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36 种,选取的两株作物恰好“相近” 的不同结果有 3+3+2=8,∴ 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率 为 = ; (II)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为 Y 的分布列 ∵ P(Y=51)=P(X=1) ,P(48)=P(X=2) ,P(Y=45)=P(X=3) ,P(Y=42)=P(X=4) ∴ 只需求出 P(X=k) (k=1,2,3,4)即可 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4) ,则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = ∴ 所求的分布列为 Y P 51 48 45 42 数学期望为 E(Y)=51× +48× +45× +42× =46 点评

本题考查古典概率的计算,考查分布列与数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2013?湖南) 如图, 在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AD∥ BC, ∠ BAD=90°, AC⊥ BD, BC=1, AD=AA1=3. (I)证明:AC⊥ B1D; (II)求直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 考点

直线与平面所成的角;直线与平面垂直的性质. 专题

计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角. 分析

(I)根据直棱柱性质,得 BB1⊥ 平面 ABCD,从而 AC⊥ BB1,结合 BB1∩ BD=B,证出 AC⊥ 平面 BB1D,从而 得到 AC⊥ B1D; (II) 根据题意得 AD∥ B1C1, 可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角即为直线 AD 与平面 ACD1 所成的角. 连 接 A1D,利用线面垂直的性质与判定证出 AD1⊥ 平面 A1B1D,从而可得 AD1⊥ B1D.由 AC⊥ B1D,可得 B1D⊥ 平面 ACD,从而得到∠ ADB1 与 AD 与平面 ACD1 所成的角互余.在直角梯形 ABCD 中,根据 342472 Rt△ ABC∽ Rt△ DAB,算出 AB= ,最后在 Rt△ AB1D 中算出 B1D= ,可得 cos∠ ADB1= ,由此即可得 出直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值. 解答

解:解

(I)∵ BB1⊥ 平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ AC⊥ BB1, 又∵ AC⊥ BD,BB1、BD 是平面 BB1D 内的相交直线 ∴ AC⊥ 平面 BB1D, ∵ B1D?平面 BB1D,∴ AC⊥ B1D; (II)∵ AD∥ BC,B1C1∥ BC,∴ AD∥ B1C1, 由此可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角,等于直线 AD 与平面 ACD1 所成的角(记为 θ) 连接 A1D, ∵ 直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∠ BAD=∠ B1A1D1=90°, ∴ B1A1⊥ 平面 A1D1DA,结合 AD1?平面 A1D1DA,得 B1A1⊥ AD1 又∵ AD=AA1=3,∴ 四边形 A1D1DA 是正方形,可得 AD1⊥ A1D ∵ B1A1、A1D 是平面 A1B1D 内的相交直线,∴ AD1⊥ 平面 A1B1D,可得 AD1⊥ B1D, 由(I)知 AC⊥ B1D,结合 AD1∩ AC=A 可得 B1D⊥ 平面 ACD,从而得到∠ ADB1=90°﹣θ, ∵ 在直角梯形 ABCD 中,AC⊥ BD,∴ ∠ BAC=∠ ADB,从而得到 Rt△ ABC∽ Rt△ DAB 因此, ,可得 AB= = 连接 AB1,可得△ AB1D 是直角三角形, 2 2 2 2 2 2 ∴ B1D =B1B +BD =B1B +AB +BD =21,B1D= 在 Rt△ AB1D 中,cos∠ ADB1= = = , 即 cos(90°﹣θ)=sinθ= ,可得直线 B1C1 与平面 ACD1 所成的角的正弦值为 . 点评

本题给出直四棱柱,求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值,着重考查了直四棱柱的性质、 线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知知识,属于中档题. 20. (13 分) (2013?湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建居民区, 分别位于平面 xOy 内三点 A(3,20) ,B(﹣10,0) ,C(14,0)处.现计划在 x 轴上方区域(包含 x 轴)内的某 一点 P 处修建一个文化中心. (I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明) ; (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 考点

根据实际问题选择函数类型;绝对值三角不等式. 专题

应用题;不等式的解法及应用. 分析

(I)根据“L 路径”的定义,可得点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值; (II)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小 值之和(记为 d)的最小值,分类讨论,利用绝对值的几何意义,即可求得点 P 的坐标. 解答

解:设点 P 的坐标为(x,y) ,则 (I)点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值为|x﹣3|+|y﹣20|,y∈[0,+∞) ; (II)由题意知,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点 P 到三个居民区的“L 路径”长度最小 值之和(记为 d)的最小值 ① 当 y≥1 时,d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+2|y|+|y﹣20| 342472 ∵ d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥|x+10|+|x﹣14|≥24 ∴ 当且仅当 x=3 时,d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|的最小值为 24 ∵ d2(y)=2|y|+|y﹣20|≥21 ∴ 当且仅当 y=1 时,d2(y)=2|y|+|y﹣20|的最小值为 21 ∴ 点 P 的坐标为(3,1)时,点 P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小,且最小值为 45; ② 当 0≤y≤1 时,由于“L 路径”不能进入保护区,∴ d=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|+1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20| 此时 d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|,d2(y)=1+|1﹣y|+|y|+|y﹣20|=22﹣y≥21 由① 知 d1(x)=|x+10|+|x﹣14|+|x﹣3|≥24,∴ d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立 综上所述,在点 P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 点评

湖南2013年高考数学

题考查新定义,考查分类讨论的数学思想,考查学生建模的能力,同时考查学生的理解能力,属于难题. 21. (13 分) (2013?湖南)过抛物线 E:x =2py(p>0)的焦点 F 作斜率率分别为 k1,k2 的两条不同直线 l1,l2, 且 k1+k2=2.l1 与 E 交于点 A,B,l2 与 E 交于 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦 所在直线记为 l. (I)若 k1>0,k2>0,证明

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为 ; ,求抛物线 E 的方程. 2 考点

直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;抛物线的标准方程. 专题

圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析

(Ⅰ )由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,写出两条直线的方程,由两条直线方程和抛物线方程联立求出 342472 圆 M 和圆 N 的圆心 M 和 N 的坐标, 求出向量 和 的坐标, 求出数量积后转化为关于 k1 和 k2 的表达式, 利用基本不等式放缩后可证得结论; (Ⅱ )利用抛物线的定义求出圆 M 和圆 N 的直径,结合(Ⅰ )中求出的圆 M 和圆 N 的圆心的坐标,写出两 圆的方程,作差后得到两圆的公共弦所在直线方程,由点到直线的距离公式求出点 M 到直线 l 的距离,利 用 k1+k2=2 转化为含有一个未知量的代数式,配方后求出最小值,由最小值等于 求出 p 的值,则抛物 线 E 的方程可求. 解答

(I) 由题意,抛物线 E 的焦点为 ,直线 l1 的方程为 . 由 ,得 . 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1,x2 是上述方程的两个实数根. 从而 x1+x2=2pk1, 所以点 M 的坐标为 同理可得点 N 的坐标为 于是 . . , , . . . 由题设 k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以 0< 故 (Ⅱ )由抛物线的定义得 所以 故圆 M 的方程为 化简得 同理可得圆 N 的方程为 于是圆 M,圆 N 的公共弦所在的直线 l 的方程为 又 k2﹣k1≠0,k1+k2=2,则 l 的方程为 x+2y=0. 因为 p>0,所以点 M 到直线 l 的距离为 = 故当 时,d 取最小值 2 . , , . , . ,从而圆 M 的半径 . . ,解得 p=8. .由题设 故所求抛物线 E 的方程为 x =16y. 点评

本题考查了抛物线的标准方程,考查了平面向量数量积的运算,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆 锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最 值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方 法.属难题. 22. (13 分) (2013?湖南)已知 a>0,函数 . (I)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a) ,求 g(a)的表达式; (II)是否存在 a 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求 出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题

导数的综合应用. 分析

(I)利用绝对值的几何意义,分类讨论,结合导数确定函数的单调性,从而可得 g(a)的表达式; (II)利用曲线 y=f(x)在两点处的切线互相垂直,建立方程,从而可转化为集合的运算,即可求得结论. 解答

(I)当 0≤x≤a 时, ;当 x>a 时, 342472 ∴ 当 0≤x≤a 时, ,f(x)在(0,a)上单调递减; 当 x>a 时, ,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ① 若 a≥4,则 f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)= ② 若 0<a<4,则 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增 ∴ g(a)max={f(0) ,f(4)} ∵ f(0)﹣f(4)= = ;当 1<a<4 时,g(a)=f(0)= , ∴ 当 0<a≤1 时,g(a)=f(4)= 综上所述,g(a)= ; (II)由(I)知,当 a≥4 时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求; 当 0<a<4 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在 x1,x2∈(0,4) (x1<x2) , 使曲线 y=f(x)在 两点处的切线互相垂直,则 x1∈(0,a) ,x2∈(a,4) ,且 f′ (x1)f′ (x2)=﹣1 ∴ ? =﹣1 ∴ ① ∵ x1∈(0,a) ,x2∈(a,4) , ∴ x1+2a∈(2a,3a) , ∈( ,1) ,1)的交集非空 时,A∩ B ≠? ∴ ① 成立等价于 A=(2a,3a)与 B=( ∵ ,∴ 当且仅当 0<2a<1,即 综上所述,存在 a 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是(0, ) . 点评

本题考查导数知识的运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,正确分类是关键.